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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.10. Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:
t) $f(x)=(3 x)^{5 x-2}$

Respuesta

En la clase de Regla de la Cadena no vimos cómo derivar este tipo de funciones, cuando tenemos algo que depende de $x$ elevado a otra cosa que también depende de $x$. Honestamente no lo puse en una clase porque jamás tomaron una derivada de este estilo en un parcial y a la hora de grabar las clases del curso claramente tengo que ir haciendo un recorte para que te lleves lo más importante para enfrentar el parcial. 

Igual ya que estás acá aprovechamos este ejercicio para ver los pasos que tendríamos que seguir cuando queremos derivar algo que depende de $x$ elevado a algo que también depende de $x$:

1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados: $ \ln(f(x)) = \ln((3x)^{5x-2}) $ 2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo a la derecha: $ \ln(f(x)) = (5x-2) \ln(3x) $ Ahora derivamos ambos lados de la igualdad respecto a \( x \): $ \frac{1}{f(x)} f'(x) = 5 \ln(3x) + (5x-2) \cdot \frac{1}{3x} \cdot 3 $

Reacomodando:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 5 \ln(3x) + (5x-2) \cdot \frac{1}{x}$
Finalmente, despejamos \( f'(x) \)  $ f'(x) = f(x) \cdot \left(5 \ln(3x) + (5x-2) \cdot \frac{1}{x}\right) $ Recordando que \( f(x) = (3x)^{5x-2} \), sustituimos: $ f'(x) = (3x)^{5x-2} \cdot \left(5 \ln(3x) + \frac{5x-2}{x}\right) $
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Avatar moca 1 de marzo 19:10

Hola Flor! cómo estás? perdón por la molestia, pero quería consultarte nuevamente!

¿En este punto el ejercicio S y todos los ejercicios desde el T en adelante no son relevantes para los parciales? ¿Podemos omitirlos sin problema? Además, me gustaría saber si es conveniente repasar los ejercicios desde el 15 hasta el final de la guía, o si, como mencionaste, nunca los tomaron en los exámenes y podemos omitirlos.

Este cuatrimestre voy a estar cursando todas las materias por ubaxxi, por eso estoy intentando adelantar contenido y enfocarme en lo fundamental. Gracias!

Avatar Flor Profesor 3 de marzo 10:06
@Mora Me encanta que ya estés adelantando a full para estar después más tranqui durante el cuatri, genial! Con respecto a tu pregunta, lo que tienen las guías de Análisis por UBA XXI es que, honestamente, a veces aparecen ejercicios que después no tienen nada que ver con los que aparecen en los parciales... entonces, no te voy a decir explícitamente que te los saltees jajaja pero si te puedo recomendar que "elijas tus batallas" 😅 

O sea, yo les voy avisando siempre en el arranque del ejercicio si es uno que no tiene mucho que ver con el enfoque después de los parciales (al menos teniendo en cuenta lo que estuvieron tomando hasta el último cuatri y los últimos años) y vos según cómo vengas con los tiempos podés salteartelo o dejarlo para más adelante o mirarlo por curiosidad pero sabiendo que no sería de los ejercicios a los que más bola tenés que darle. Cuando vas entrando a cada ejercicio de la guía yo siempre hago la aclaración al principio, para ayudarlos a ver qué jerarquía darle :) Y obviamente los que están en video, en el top de prioridades 
Avatar moca 10 de marzo 14:40
@Flor ¡Gracias, Flor! lo voy a tener en cuenta. También quería preguntarte, porque ayer me surgió una duda mientras revisaba el material de Algebra: en Análisis, cuando tenemos

x2\sqrt{x^2}, el resultado es ∣x∣|x|, pero cuando es (x+n)2\sqrt{(x + n)^2}, no aparece el módulo. En cambio, en Álgebra parece que siempre se mantiene el módulo.  Me llamó la atención esa diferencia. ¿Es así, o hay algo que estoy pasando por alto? Gracias nuevamente!

Avatar Victor 3 de mayo 15:50
Una consulta flor acerca de este metodo, ¿en el lado izquierdo siempre va a quedar f´(x)/f(x) ? o hay casos en que queda diferente? ¿o ya con esto en mente, se saltea ese paso si el resultado es multiplicar f(x) con la derivada de la derecha ?
Avatar Flor Profesor 3 de mayo 21:19
@Victor Hola Victor! Primero tranqui con este ejercicio, jamás vi que en un examen de UBA XXI te hagan derivar una función así... igual banco que si venis bien lo hayas mirado igual y trates de entenderlo :)

Yo no me lo aprenderia de memoria como una fórmula, más que nada porque fijate que lo que vos llamás "la derivada de la derecha", en realidad implico bajar el exponente, y tener un logaritmo metido que no estaba originalmente, para mi lo mejor es acordarte que aplicas logaritmo natural en ambos miembros y derivas ambos miembros :)
Avatar Victor 4 de mayo 09:29
Gracias profee ! , igual mi consulta era mas que nada por la parte izquierda, si es que siempre queda f´(x) /f(x) o hay veces que sale distinto ? porque es importante para el despeje
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