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@Victor Hola Victor! Primero tranqui con este ejercicio, jamás vi que en un examen de UBA XXI te hagan derivar una función así... igual banco que si venis bien lo hayas mirado igual y trates de entenderlo :)
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Gracias profee ! , igual mi consulta era mas que nada por la parte izquierda, si es que siempre queda f´(x) /f(x) o hay veces que sale distinto ? porque es importante para el despeje
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.10.
Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:
t) $f(x)=(3 x)^{5 x-2}$
t) $f(x)=(3 x)^{5 x-2}$
Respuesta
En la clase de Regla de la Cadena no vimos cómo derivar este tipo de funciones, cuando tenemos algo que depende de $x$ elevado a otra cosa que también depende de $x$. Honestamente no lo puse en una clase porque jamás tomaron una derivada de este estilo en un parcial y a la hora de grabar las clases del curso claramente tengo que ir haciendo un recorte para que te lleves lo más importante para enfrentar el parcial.
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Igual ya que estás acá aprovechamos este ejercicio para ver los pasos que tendríamos que seguir cuando queremos derivar algo que depende de $x$ elevado a algo que también depende de $x$:
1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados:
$ \ln(f(x)) = \ln((3x)^{5x-2}) $
2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo a la derecha:
$ \ln(f(x)) = (5x-2) \ln(3x) $
Ahora derivamos ambos lados de la igualdad respecto a \( x \):
$ \frac{1}{f(x)} f'(x) = 5 \ln(3x) + (5x-2) \cdot \frac{1}{3x} \cdot 3 $
Reacomodando:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 5 \ln(3x) + (5x-2) \cdot \frac{1}{x}$
Finalmente, despejamos \( f'(x) \)
$ f'(x) = f(x) \cdot \left(5 \ln(3x) + (5x-2) \cdot \frac{1}{x}\right) $
Recordando que \( f(x) = (3x)^{5x-2} \), sustituimos:
$ f'(x) = (3x)^{5x-2} \cdot \left(5 \ln(3x) + \frac{5x-2}{x}\right) $
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Victor
3 de mayo 15:50
Una consulta flor acerca de este metodo, ¿en el lado izquierdo siempre va a quedar f´(x)/f(x) ? o hay casos en que queda diferente? ¿o ya con esto en mente, se saltea ese paso si el resultado es multiplicar f(x) con la derivada de la derecha ?
Flor
PROFE
3 de mayo 21:19
Yo no me lo aprenderia de memoria como una fórmula, más que nada porque fijate que lo que vos llamás "la derivada de la derecha", en realidad implico bajar el exponente, y tener un logaritmo metido que no estaba originalmente, para mi lo mejor es acordarte que aplicas logaritmo natural en ambos miembros y derivas ambos miembros :)
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Victor
4 de mayo 9:29
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